Ecuaciones de Maxwell

El electromagnetismo moderno está basado en un conjunto de cuatro relaciones fundamentales conocidas como ecuaciones de Maxwell: 

donde E y D son cantidades de campo eléctrico interrelacionadas por D= epsilon*E, donde epsilon es la permitividad eléctrica del material; B y H son cantidades de campo magnético interrelacionadas por B = uH, donde u es la permeabilidad magnética del material; rhov es la densidad de carga eléctrica  por unidad de volúmen; y J es la densidad de corriente por unidad de área. Estas ecuaciones se mantienen en cualquier material, incluído el espacio libre (vacío) y en cualquier lugar del espacio (x, y, z). En general, todas las cantidades en las ecuaciones de Maxwell pueden ser una función del tiempo t. 

Operador laplaciano

Para una función escalar, el operador laplaciano se define como:

Como se puede observar en la anterior ecuación, el laplaciano de una función escalar es un escalar.
 El laplaciano de una función escalar permite definir el laplaciano de un vector:
 Para un vector E dado en coordenadas cartesianas por:

El laplaciano de E está definido por:

Por lo tanto, en coordenadas cartesianas, el laplaciano de un vector es un vector cuyos componentes son iguales a los laplacianos de sus componentes. Mediante sustitución directa, se demuestra que:

Operador rotacional

El rotacional de un campo vectorial B describe la propiedad rotacional o la circulación de B. Se describe como:

Se puede demostrar, mediante una larga y tediosa derivación, que la definición anterior conduce a:

Operador divergencia

La divergencia de un campo vectorial, se utiliza frecuentemente en la teoría electromagnética, esta dada por:

y el teorema de divergencia: 

Operador gradiente

Cuando se trabaja con una cantidad física escalar cuya magnitud depende de una sola variable, como la temperatura T en función de la altura z, la tasa de cambio de T con la altura se describe por la derivada dT/dz. No obstante, si T también es una función de x y y en un sistema de coordenadas cartesianas, su tasa de cambio en el espacio se vuelve mas dificil de describir porque ahora hay que ocuparse no solo de tres variables didstintas, sino tambien de hacerlo en una disposicion unificada. El cambio diferencial  de T a lo largo de x, y z se describe en función de las derivadas parciales de T con respecto a las tres variables coordenadas, pero no es obvio de inmediato como se deberán combinar las tres derivadas parciales para describir la tasa de cambio en el espacio de T a lo largo de una dirección especificada. Además, muchas de las cantidades con las que se trabaja en la teoría electromagnética son vectores y, por consiguiente, tanto sus magnitudes como sus direcciones pueden variar con la posición espacial. En cálculo vectorial, se utilizan tres operadores fundamentales para describir las variaciones espaciales diferenciales de escalares y vectores; estos son los operadores gradiente, divergencia y rotacional. El operador gradiente se aplica a campos
escalares. Los otros dos, se aplican a campos vectoriales.

El operador gradiente es:

Transformaciones entre sistemas de coordenadas

La posición de un punto en el espacio es invariable con respecto a la selección del sistema de coordenadas. Es decir, su ubicación es la misma independientemente de qué sistema de coordenadas específico se utilice para representarlo. Lo mismo es cierto para vectores.

Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas: 

y z=z.

Transformación de coordenadas cartesianas a esféricas:

Vectores coordenados

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable.
En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia u origen y una base vectorial ortonormal, quedando así definidos los ejes coordenados.


Sistemas de coordenadas ortogonales: En la teoría electromagnética, las cantidades físicas con las que se trabaja, en general, son funciones de espacio y tiempo. Un sistema de coordenadas tridimensionales permite especificar únicamente la ubicación de un punto en el espacio o la dirección de una cantidad vectorial. Los sistemas de coordenadas pueden ser ortogonales o no ortogonales


Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cilíndricas: un sistema de coordenadas cilindricas es util para resolver problemas que tienen simetría cilíndrica, como calcular la capacitancia por unidad de longitud de una línea de trasmisión coaxial. La localización de un punto en el espacio se define de forma única por tres variables, r, phi y z. La coordenada r es la distancia radial en el plano x-y, phi es el ángulo azimutal medido con respecto al eje x positivo , y z es como en el sistema de coordenadas cartesianas.


Coordenadas esféricas: En el sistema de coordenadas esféricas,la ubicación de un punto en el espacio se especifica únicamente por las variables R, theta y phi. La coordenada R, que en ocasiones se llama coordenada de rango, describe una esfera de radio R con centro en el origen. El angulo cenit (theta) se mide a partir del eje z positivo y describe una superficie cónica con su vértice en el origen y el angulo azimutal phi es el mismo como el sistema de coordenadas cilíndricas. Los rangos de R, theta y phi son 
0<= R<=inf , 0<=theta<=pi y 0<=phi<=2*pi.

Leyes básicas del álgebra lineal

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque mas formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tienen conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
la historia del álgebra lineal moderna se remonta  a los años de 1843 cuando Willian Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (la teoría lineal de extensión).

Carta de smith

Antes de la era de las computadoras y calculadoras programables, se desarrollaron varios tipos de gráficas como auxiliares en la solución de problemas de líneas de trasmisión. La Carta de Smith, que desarrolló P.H. Smith en 1939, ha sido y continúa siendo la técnica gráfica más ampliamente utilizada para analizar y diseñar circuitos de línea de transmisión. Aún cuando la intención original de su inventor fue brindar una herramienta gráfica útil para realizar cálculos que implican impedancias complejas, la carta de Smith se ha convertido en un medio de presentación principal en los programas de diseño asistido por computadora (CAD) para mostrar el desempeño de circuitos de microondas. El uso de la carta de Smith no solo evita las tediosas manipulaciones de los números complejos, sino también permite que un ingeniero diseñe circuitos acopladores de impedancia con relativa facilidad. La carta de Smith se utiliza tanto para líneas de transmisión con pérdidas como para líneas sin pérdidas.

Bibliografía: -  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall
- La Wikipedia

Flujo de potencia en una línea de transmisión sin pérdidas

Potencia instantánea:  La potencia instantánea transportada por la onda incidente, cuando llega a la carga, es igual alproducto del voltaje instantáneo vi(t) por la corriente instantánea ii(t). La potencia reflejada fluye en la dirección -z.

Potencia promedio con respecto al tiempo: Desde un punto de vista práctico, en general, interesa más el flujo de potencia promedio con respecto al tiempo a lo largo de la línea de transmisión, Pprom que la potencia instantánea P(t). Para calcular Pprom, se utiliza un método en el dominio del tiempo o un método fasorial más simple desde el punto de vista computacional.

Para el método en el dominio del tiempo se tiene que la magnitud de la potencia reflejada promedio es igual a la potencia incidente promedio, reducida por un factor multiplicador de |Gamma|^2 

Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

Casos especiales de la línea sin pérdidas

A menudo se presentan situaciones que implican líneas de transmisión sin pérdidas con terminaciones particulares o líneas cuya longitud exhibe propiedades particularmente útiles. Algunos de estos casos especiales son:

- Línea en cortocircuito
- Línea en circuito abierto
- Aplicación de mediciones en cortocircuito y circuito abierto
- Líneas de longitud l= n(lambda)/2
- Transformador de cuarto de onda
- Línea de transmisión acoplada ZL = Z0

Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

impedancia de entrada de la línea sin pérdidas

La impedancia de entrada de una línea terminada en un cortocircuito o circuito abierto es puramente reactiva. Esta propiedad se utiliza para diseñar inductores o capacitores equivalentes.

Los patrones de onda estacionaria indican que para una línea desacoplada las magnitudes del voltaje y corriente son oscilatorias con la posición en la línea y están en oposición de fase entre sí. Por consiguiente, la razón entre voltaje y corriente, llamada impedancia de entrada Zent, también debe variar con la posición.

Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

Líneas sin pérdidas

Una línea de transmisión se caracteriza por dos propiedades fundamentales, su constante de propagación y su impedancia característica Z0, ambas especificadas por su frecuencia angular w y los parámetros R', L', G' y C'. En muchas situaciones prácticas, la línea de transmisión se diseña para reducir al minimo las pérdidas óhmnicas seleccionando conductores con conductividades muy altas y materiales dieléctricos con conductividades insignificantes. por consiguiente, R' y G' asumen valores muy pequeños de tal forma que  R' << w L' y G' <<wC'.


Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

Ecuaciones de la línea de transmisión, propagación de ondas

Ecuaciones de la línea de transmisión: las siguientes ecuaciones diferenciales son la forma en el dominio del tiempo de las ecuaciones de la línea de transmisión o ecuaciones del telegrafista:

y en forma fasorial:

 

Ecuaciones de onda: 

2.21 y 2.23 son las ecuaciones de onda para

es la constante de propagación compleja.

 
Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

 

Modelo de parámetros concentrados

Líneas de transmisión:  abarcan todos los medios y estructuras que sirven para transferir energía o informaciòn entre dos puntos, incluídas las fibras nerviosas en el cuerpo humano, las ondas acústicas en los fluídos y las ondas de presión mecánicas en los sólidos. En nuestro caso trataremos con líneas de transmisión dedicadas a guiar señales electromagnéticas. Estas líneas de transmisión incluyen cables telefónicos, cables coaxiales que transportan audio e información de video en aparatos de TV o datos digitales a monitores de computadora y fibras ópticas que transportan ondas luminosas para la transmisión de datos a muy altas velocidades. En esencia, una línea de transmisión es una red de dos puertos, cada uno de los cuales se compone de dos terminales, como se muestra en la siguiente figura:

Las líneas de transmisión se clasifican en dos tipos básicos: líneas de transmisión transversales electromagnéticas (TEM) y líneas de transmisión de alto orden.

Líneas TEM: las ondas que se propagan a lo largo de estas líneas se caracterizan por campos eléctricos y magnéticos que son totalmente transversales a la dirección de propagación. Este modo de propagación se conoce como modo TEM. Un buen ejemplo es la línea coaxial que se muestra a continuación: 

En esta, las líneas de campo electrico están en la dirección radial entre los conductores interno y externo, el campo magnético forma circulos alrededor del conductor interno y, por consiguiente, ninguno tiene componentes a lo largo de la línea (La dirección de propagación de la onda). Otras líneas TEM incluyen la línea de dos conductores y la línea de placas paralelas que se representan en la siguiente figura:

Aunque los campos presentes en una línea de microfranja no se apegan a la definición exacta de un modo TEM, los componentes de campo no transversales son suficientemente pequeños en comparación con los componenes transversales como para ignorarse, lo cual permite la inclusión de líneas de microfranja en la clase TEM. Una característica común en las TEM es que se componen de dos superficies conductoras paralelas.

El tratamiento de las líneas TEM se inicia representando estas en función de un modelo de circuito concentrado y luego se aplican las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff para obtener dos ecuaciones rectoras conocidas como las ecuaciones del telegrafista. Al combinarlas se obtienen ecuaciones de onda para el voltaje y la corriente en cualquier punto de la línea. La solución de las ecuaciones de onda en el caso de estado estable sinusoidal conduce a un conjunto de fórmulas que sirven para resolver una amplia variedad de problemas prácticos. La Carta de Smith permite resolver problemas de líneas de transmisión sin necesidad de hacer cálculos laboriosos con números complejos.

Modelo de elemento concentrado: una línea de transmisión se representa mediante una configuración de alambres paralelos, sin importar la forma específica de la línea considerada. Así, una línea  puede representar una línea coaxial, una línea de dos alambres o cualquier otra línea TEM. 
El circuito de elementos concentrados consta de 4 elementos principales (parámetros de la línea de transmisión):

R': La resistencia combinada de ambos conductores por unidad de longitud, en Ohm/m
L': La inductancia combinada de ambos conductores por unidad de longitud, en H/m
G': La conductancia del medio aislante por unidad de longitud, en S/m
C': La capacitancia de los conductores por unidad de longitud, en  F/m 


Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

Fasores

Los fasores son una herramienta matemática útil para resolver problemas que implican sistemas lineales en los que la excitación es una función de tiempo periódica. Si la excitación (función forzadora) varía sinusoidalmente con el tiempo, la notación fasorial permite convertir la ecuación integro-diferencial en una acuación lineal sin términos sinusoidales, con lo cual simplifica la solución del problema.

Después de resolver fasorialmente para una variable de circuito, se cambia de nuevo al dominio del tiempo y se obtienen los resultados deseados.

Este análisis fasorial no sólo se aplica cuando la excitación del sistema es onda sinusoidal sino también cuando es una onda cuadrada o una secuencia de pulsos.

A continuación los pasos del método fasorial:

Paso 1: Adoptar una referencia coseno

Esto significa que se debe expresar la función forzadora como un coseno, si aún no está en esa forma. Por consiguiente, todas las funciones que varían con el tiempo como la corriente y el voltaje tendrán una referencia coseno.

Paso 2: expresar las variables dependientes del tiempo como fasores

Cualquier función que varía con el tiempo de forma cosenoidal z(t) se expresa como

donde Ztildado es una función independiente del tiempo  llamada fasor de la función instantánea z(t). Para distinguir las cantidades instantáneas de sus contrapartes fasoriales, a la letra que denota un fasor se le coloca una tilde encima.

Paso 3:  Reescribir la ecuación diferencial/integral en forma fasorial


Paso 4: Resolver la ecuación en el dominio fasorial

Paso 5: Determinar el valor instantáneo

Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

Ondas

Ondas viajeras

Las ondas son una consecuencia natural de muchos procesos físicos: olas y oscilaciones en océanos y lagos, ondas sonoras que viajan por el aire, ondas mecánicas en cuerdas estiradas, ondas electromagnéticas que constituyen la luz, ondas sísmicas y muchas otras.

Propiedades de las ondas

• Las ondas en movimiento transportan energía de un punto a otro.
• las ondas tienen velocidad: velocidad de las ondas luminosas (luz) en el vacío: 3*10^8 m/s; velocidad de las ondas sonoras en el aire: 330 m/s
  

• Algunas ondas exhiben una propiedad llamada linealidad: son las ondas que no afectan el paso de otras, el total de dos ondas lineales es la suma de las dos ondas como si existieran por separado. Las ondas electromagnéticas y sonoras son lineales. 

 Tipos de ondas: 

• Ondas transitorias: provocadas por uan perturbación de corta duración.
• Ondas armónicas continuas: generadas por una fuente oscilante.

Ondas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales:

• Ondas unidimensionales: cuando la perturbación varía como una función de una variable espacial a lo largo de la cuerda.
  
• Ondas bidimensionales: su perturbación se describe mediante dos variables espaciales. Se propaga de un lado a otro de una superficie.
  
• Ondas tridimensionales: su perturbación se propaga a través de un volumen y se describe mediante una función de tres variables. Las ondas tridimensionales adoptan muchas formas diferentes; incluyen ondas planas, cilíndricas y esféricas.

 

Historia del electromagnetismo

La historia de la teoría electromagnética se divide en dos eras que se traslapan. En la era clásica se descubrieron y formularon las leyes fundamentales de la electricidad y el magnetismo. Con base en estas formulaciones fundamentales, la era moderna que comprende los 100 últimos años y que se caracteriza por la introducción de una amplia variedad de aplicaciones de la ingeniería, anunció el nacimiento del campo de la teoría electromagnética aplicada.

La teoría electromagnética en la era clásica

Fueron los griegos quienes, hace cerca de 2800 años, detectaron la fuerza de atracción de la magnetita. Tales de mileto escribió por primera sobre la electricidad estática. describió cómo al frotar el ámbar, este desarrollaba una fuerza que podía atraer objetos livianos como plumas.

El término eléctrico apareció por primera en 1600 en una tratado sobre la fuerza (eléctrica) generada por fricción escrito por el médico Willian Gilbert.

En 1733, Charles-François du Fray introdujo el concepto de que la electricidad consiste en dos tipos de fluídos, uno positivo y otro negativo, y que los fluídos iguales se repelen mientras que los opuestos se atraen. 

En 1745 se inventó el capacitor originalmemte llamado Jarra de Leyden, el cual permitió almacenar cantidades significativas de carga eléctrica en un solo dispositivo. En 1752 Benjamin franklin demostró que los relámpagos son una forma de electricidad. Transfirió carga eléctrica desde una nube hasta una jarra de Leyden a través de una cometa de seda.

 El conocimiento colectivo del siglo XVIII sobre la electricidad fue integrado en 1785 gracias a Charles Augustin de Coulomb en la forma de una formulación matemática que caracteriza la fuerza eléctrica entre dos cargas en función de sus intensidades y polaridades y la distancia entre ellas.

En el año 1800 se desarrolla la primera batería eléctrica, por parte de Alessandro Volta y en 1820 se descubre cómo el magnetismo es inducido por corrientes eléctricas. Joseph Henry aprovechó este descubrimiento para desarrollar los primeros electroimanes y motores eléctricos. 

Poco después, Michael Faraday construyó el primer generador eléctrico (el inverso del motor eléctrico). Demostró que un campo magnético variable induce un campo eléctrico y por ende un voltaje. En 1873 James Clerk Maxwell propuso la relación inversa: que un campo eléctrico variable induce un campo magnético; allí introdujo sus cuatro famosas ecuaciones:

En 1895, Wilhelm Roentgen Descubrió los rayos X. Nikola Tesla fue el primero en desarrollar el motor de CA (Corriente Alterna).

En 1897 se identificó la partícula fundamental de la carga eléctrica, el electrón y sus propiedades por parte de J.J. Thomson. El efecto fotoeléctrico es la capacidad de un material para emitir electrones dirigiendo energía electromagnética. Para explicar este efecto, Albert Einstein adoptó el concepto cuanto de energía que había propuesto Max Planck en 1900. Al hacer esto, Einstein tendió el puente entre las eras clásica y moderna de la teoría electromagnética.

La teoría electromagnética en la era moderna 

En función de sus aplicaciones en la ingeniería, la teoría electromagnética desempeña un papel fundamental en el diseño y operación de todo aparato electrónico concebible, incluídos diodos, transistores, circuitos integrados, rayos láser, pantallas, lectores de códigos de barras, teléfonos celulares y hornos de microondas. 


 Bibliografía: 
- Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall
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Introducción

Programa del curso

Propósito del curso: El análisis y comprensión de los sistemas electromagnéticos y su implicación en los sistemas de telecomunicación

Justificación: La  ingeniería de  telecomunicaciones se enfrenta a problemas cuya solución se basa  en  la  aplicación  de  las  leyes  del  electromagnetismo.  En  este  curso  se exploran  los  fenómenos  electromagnéticos  en  aplicaciones  modernas, incluyendo  las  comunicaciones  inalámbricas  y  ópticas, circuitos, comunicaciones por microondas y radares, antenas entre otras.  

Objetivo general: Explorar  la  teoría del electromagnetismo y sus aplicaciones en  la  ingeniería de telecomunicaciones  en  un  nivel  más  sofisticado  a  través  del  estudio  de situaciones  físicas  más complejas  y  utilizando  técnicas  matemáticas  más avanzadas. 

Objetivos específicos: 

•  Establecer una completa y eficiente base fundamental teórica que sustente las ecuaciones de Maxwell.

•  Comprender  los pasos clave en  las  técnicas de solución de problemas de valor en la frontera por el método de separación de variables 

•  Desarrollar  técnicas  de  análisis  de  sistemas  electromagnéticos  dinámicos usados en la ingeniería de telecomunicaciones 

Contenido resumido:

•  Introducción 

•  Ondas y Fasores 

•  Líneas de transmisión 

•  Análisis vectorial 

•  Electrostática 

•  Magnetostática 

•  Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo 

•  Propagación de ondas planas 

•  Reflexión, transmisión y guías de onda 

•  Radiación y Antenas 

•  Sistemas de comunicación satelitales y sensores de radar

Hábitos de estudio

Estudiar es: 

•  Una actividad por la cual ejercitamos el entendimiento para comprender una cosa. 

•  También es la actividad por  la que pensamos insistentemente en un asunto para resolver sobre él. 

•  Un  intento  sistemático  de  comprender,  asimilar,  fijar  y  recordar  los  contenidos  que queremos aprender, valiéndonos de las técnicas adecuadas. 

•  Una actividad que exige una actitud de la mente y de la voluntad, ambas tienen que tener la decisión de aprender. Para muchos, estudiar es un oficio y es un arte, es una actividad habitual.  Si  adoptas el estudio  con esta  actitud,  tienes  grandes probabilidades de  lograr tus objetivos. 

Fundamentalmente, son tres las condiciones que se relacionan con el estudio y el aprendizaje: 

1.  Poder estudiar.  Implica  tener  cualidades  personales,  es  decir,  tener  la  capacidad mínima para emprender una serie de estudios.

2.  Saber estudiar.  Implica  dominar  unas  destrezas,  técnicas  y  estrategias  de  estudio determinadas:  selección  de  información,  resúmenes,  esquemas,  mapas  conceptuales, estrategias de resolución de problemas, etc. 

3.  Querer estudiar.  Implica  poseer  una  motivación  o  deseo  de  aprender  algo  nuevo. 

Tenemos  que  establecer  una  serie  de metas  y  prioridades,  y  ser  conscientes  de  que  el estudio necesita, sin excusas, cierto esfuerzo y tenacidad, cierta renuncia y sacrificio, y que para  llegar  al  final,  al  éxito,  es  preciso  una  dedicación  diaria.

Estudiar ya no es una actividad básicamente memorística. Has de saber que en el rendimiento en el estudio sin duda influyen muchos factores, entre ellos tu situación personal, familiar y tu estilo de vida, factores de tipo emocional y afectivo, y por supuesto, las técnicas de estudio. 

Pero  no  te  engañes,  posiblemente  el  factor más  determinante  es  que  estés motivado  por  tus estudios. Hay muchos ejemplos que confirman que personas con capacidades normales o incluso con ciertas discapacidades, pero altamente motivadas, han llegado a obtener grandes resultados.