Ecuaciones de Maxwell

El electromagnetismo moderno está basado en un conjunto de cuatro relaciones fundamentales conocidas como ecuaciones de Maxwell: 

donde E y D son cantidades de campo eléctrico interrelacionadas por D= epsilon*E, donde epsilon es la permitividad eléctrica del material; B y H son cantidades de campo magnético interrelacionadas por B = uH, donde u es la permeabilidad magnética del material; rhov es la densidad de carga eléctrica  por unidad de volúmen; y J es la densidad de corriente por unidad de área. Estas ecuaciones se mantienen en cualquier material, incluído el espacio libre (vacío) y en cualquier lugar del espacio (x, y, z). En general, todas las cantidades en las ecuaciones de Maxwell pueden ser una función del tiempo t. 

Operador laplaciano

Para una función escalar, el operador laplaciano se define como:

Como se puede observar en la anterior ecuación, el laplaciano de una función escalar es un escalar.
 El laplaciano de una función escalar permite definir el laplaciano de un vector:
 Para un vector E dado en coordenadas cartesianas por:

El laplaciano de E está definido por:

Por lo tanto, en coordenadas cartesianas, el laplaciano de un vector es un vector cuyos componentes son iguales a los laplacianos de sus componentes. Mediante sustitución directa, se demuestra que:

Operador rotacional

El rotacional de un campo vectorial B describe la propiedad rotacional o la circulación de B. Se describe como:

Se puede demostrar, mediante una larga y tediosa derivación, que la definición anterior conduce a:

Operador divergencia

La divergencia de un campo vectorial, se utiliza frecuentemente en la teoría electromagnética, esta dada por:

y el teorema de divergencia: 

Operador gradiente

Cuando se trabaja con una cantidad física escalar cuya magnitud depende de una sola variable, como la temperatura T en función de la altura z, la tasa de cambio de T con la altura se describe por la derivada dT/dz. No obstante, si T también es una función de x y y en un sistema de coordenadas cartesianas, su tasa de cambio en el espacio se vuelve mas dificil de describir porque ahora hay que ocuparse no solo de tres variables didstintas, sino tambien de hacerlo en una disposicion unificada. El cambio diferencial  de T a lo largo de x, y z se describe en función de las derivadas parciales de T con respecto a las tres variables coordenadas, pero no es obvio de inmediato como se deberán combinar las tres derivadas parciales para describir la tasa de cambio en el espacio de T a lo largo de una dirección especificada. Además, muchas de las cantidades con las que se trabaja en la teoría electromagnética son vectores y, por consiguiente, tanto sus magnitudes como sus direcciones pueden variar con la posición espacial. En cálculo vectorial, se utilizan tres operadores fundamentales para describir las variaciones espaciales diferenciales de escalares y vectores; estos son los operadores gradiente, divergencia y rotacional. El operador gradiente se aplica a campos
escalares. Los otros dos, se aplican a campos vectoriales.

El operador gradiente es:

Transformaciones entre sistemas de coordenadas

La posición de un punto en el espacio es invariable con respecto a la selección del sistema de coordenadas. Es decir, su ubicación es la misma independientemente de qué sistema de coordenadas específico se utilice para representarlo. Lo mismo es cierto para vectores.

Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas: 

y z=z.

Transformación de coordenadas cartesianas a esféricas:

Vectores coordenados

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable.
En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia u origen y una base vectorial ortonormal, quedando así definidos los ejes coordenados.


Sistemas de coordenadas ortogonales: En la teoría electromagnética, las cantidades físicas con las que se trabaja, en general, son funciones de espacio y tiempo. Un sistema de coordenadas tridimensionales permite especificar únicamente la ubicación de un punto en el espacio o la dirección de una cantidad vectorial. Los sistemas de coordenadas pueden ser ortogonales o no ortogonales


Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cilíndricas: un sistema de coordenadas cilindricas es util para resolver problemas que tienen simetría cilíndrica, como calcular la capacitancia por unidad de longitud de una línea de trasmisión coaxial. La localización de un punto en el espacio se define de forma única por tres variables, r, phi y z. La coordenada r es la distancia radial en el plano x-y, phi es el ángulo azimutal medido con respecto al eje x positivo , y z es como en el sistema de coordenadas cartesianas.


Coordenadas esféricas: En el sistema de coordenadas esféricas,la ubicación de un punto en el espacio se especifica únicamente por las variables R, theta y phi. La coordenada R, que en ocasiones se llama coordenada de rango, describe una esfera de radio R con centro en el origen. El angulo cenit (theta) se mide a partir del eje z positivo y describe una superficie cónica con su vértice en el origen y el angulo azimutal phi es el mismo como el sistema de coordenadas cilíndricas. Los rangos de R, theta y phi son 
0<= R<=inf , 0<=theta<=pi y 0<=phi<=2*pi.