Leyes básicas del álgebra lineal

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque mas formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tienen conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
la historia del álgebra lineal moderna se remonta  a los años de 1843 cuando Willian Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (la teoría lineal de extensión).

Carta de smith

Antes de la era de las computadoras y calculadoras programables, se desarrollaron varios tipos de gráficas como auxiliares en la solución de problemas de líneas de trasmisión. La Carta de Smith, que desarrolló P.H. Smith en 1939, ha sido y continúa siendo la técnica gráfica más ampliamente utilizada para analizar y diseñar circuitos de línea de transmisión. Aún cuando la intención original de su inventor fue brindar una herramienta gráfica útil para realizar cálculos que implican impedancias complejas, la carta de Smith se ha convertido en un medio de presentación principal en los programas de diseño asistido por computadora (CAD) para mostrar el desempeño de circuitos de microondas. El uso de la carta de Smith no solo evita las tediosas manipulaciones de los números complejos, sino también permite que un ingeniero diseñe circuitos acopladores de impedancia con relativa facilidad. La carta de Smith se utiliza tanto para líneas de transmisión con pérdidas como para líneas sin pérdidas.

Bibliografía: -  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall
- La Wikipedia

Flujo de potencia en una línea de transmisión sin pérdidas

Potencia instantánea:  La potencia instantánea transportada por la onda incidente, cuando llega a la carga, es igual alproducto del voltaje instantáneo vi(t) por la corriente instantánea ii(t). La potencia reflejada fluye en la dirección -z.

Potencia promedio con respecto al tiempo: Desde un punto de vista práctico, en general, interesa más el flujo de potencia promedio con respecto al tiempo a lo largo de la línea de transmisión, Pprom que la potencia instantánea P(t). Para calcular Pprom, se utiliza un método en el dominio del tiempo o un método fasorial más simple desde el punto de vista computacional.

Para el método en el dominio del tiempo se tiene que la magnitud de la potencia reflejada promedio es igual a la potencia incidente promedio, reducida por un factor multiplicador de |Gamma|^2 

Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

Casos especiales de la línea sin pérdidas

A menudo se presentan situaciones que implican líneas de transmisión sin pérdidas con terminaciones particulares o líneas cuya longitud exhibe propiedades particularmente útiles. Algunos de estos casos especiales son:

- Línea en cortocircuito
- Línea en circuito abierto
- Aplicación de mediciones en cortocircuito y circuito abierto
- Líneas de longitud l= n(lambda)/2
- Transformador de cuarto de onda
- Línea de transmisión acoplada ZL = Z0

Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

impedancia de entrada de la línea sin pérdidas

La impedancia de entrada de una línea terminada en un cortocircuito o circuito abierto es puramente reactiva. Esta propiedad se utiliza para diseñar inductores o capacitores equivalentes.

Los patrones de onda estacionaria indican que para una línea desacoplada las magnitudes del voltaje y corriente son oscilatorias con la posición en la línea y están en oposición de fase entre sí. Por consiguiente, la razón entre voltaje y corriente, llamada impedancia de entrada Zent, también debe variar con la posición.

Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

Líneas sin pérdidas

Una línea de transmisión se caracteriza por dos propiedades fundamentales, su constante de propagación y su impedancia característica Z0, ambas especificadas por su frecuencia angular w y los parámetros R', L', G' y C'. En muchas situaciones prácticas, la línea de transmisión se diseña para reducir al minimo las pérdidas óhmnicas seleccionando conductores con conductividades muy altas y materiales dieléctricos con conductividades insignificantes. por consiguiente, R' y G' asumen valores muy pequeños de tal forma que  R' << w L' y G' <<wC'.


Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall

Ecuaciones de la línea de transmisión, propagación de ondas

Ecuaciones de la línea de transmisión: las siguientes ecuaciones diferenciales son la forma en el dominio del tiempo de las ecuaciones de la línea de transmisión o ecuaciones del telegrafista:

y en forma fasorial:

 

Ecuaciones de onda: 

2.21 y 2.23 son las ecuaciones de onda para

es la constante de propagación compleja.

 
Bibliografía:  Fawwaz T. Ulaby, Fundamentos de aplicaciones en electromagnetismo, Quinta edición, Pearson Prentice Hall